動手找出水星運動的軌跡

成功高中 陳源上

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一、前言

  刻卜勒行星三大定律是天文學上一個十分重要的定律,其內容看起來簡單易懂,其實仍有許多同學無法體會實際上行星運動的情形;本人曾經設計一個簡易的活動印證刻卜勒第三運動定律,供學生課餘當作是遊戲來自我學習,結果學生大多反應良好,因此提出來給學生及教師們做參考。

刻卜勒行星三大定律

(Ⅰ) 行星的公轉軌道是個橢圓形,而太陽在橢圓的一個焦點上。
(Ⅱ) 行星在公轉軌道上運動的速度,在等時間內徑向掃過的面積相同。
(Ⅲ) 行星公轉週期的平方與它們相對太陽的平均距離的立方成正比。

 

二、背景知識

  1. 已知太陽系九大行星中,除了冥王星外,其餘各行星幾乎在同一平面且以同一方向繞日公轉。
  2. 依其它行星相對於地球公轉軌道的位置,可將行星分為兩大類:
    (1) 在地球軌道之內,繞著太陽運行的行星,稱之為內行星。
    (2) 在地球軌道之外,繞著太陽運行的行星,稱之為外行星。

  我們選定的水星是一個內行星,此活動只適用於內行星,即水星與金星;外行星則需用別的方法印証。

 

三、找出水星繞日公轉半徑

  1. 由於水星是一顆內行星,在地球上觀測水星與太陽之間的夾角皆不大,因此想看到水星必須在黃昏或清晨。
  2. 如圖一所示,在地球上觀測水星與太陽的夾角最大的時刻,應是水星在其軌道上運行到圖中C點時(圖中A點代表地球、B點代表太陽、C點代表水星),此時水星與地球的連線AC恰好是水星運行軌道的切線,而地球、太陽及水星成一直角三角形的關係。
  3. 因圖中ABC直角三角形的關係,故水星與太陽的距離(BC),可由下列公式求得
    BC=AB*SINθ ----------------------- (1)
    已知地球與太陽的距離(AB)為1天文單位,公式即可簡化成
    BC= SINθ天文單位 --------------- (2)
  4. 由水星與太陽夾角隨日期變化的關係曲線圖(圖四),找出水星與太陽夾角的最大值(即波峰的值),分別為18度、28度、26度、22度、24度、20度。
  5. 利用上述公式(2)及表(一)可算出水星與太陽的距離分別為 :
    0.31天文單位、0.47天文單位、0.44天文單位、
    0.37天文單位、0.41天文單位、0.34天文單位。
角度 18 20 22 24 26 28
SINθ值 0.31 0.34 0.37 0.41 0.44 0.47
  1. 因水星繞日運行是一個扁平率較大的橢圓形,因此水星與太陽的距離差異頗大。
  2. 將水星與太陽的距離加以平均,即可求出水星繞日公轉的平均半徑為0.39天文單位。

 

四、找出水星繞日公轉週期

  1. 水星與地球繞日公轉運動,宛如一場龜兔賽跑。開始起跑時,地球、水星、太陽成一直線(如圖二),此時在地球上觀測水星與太陽的夾角應是0度。
  2. 水星與地球同一方向(逆時針)繞日公轉,且水星跑得比較快,經過一段時間後,水星比地球多跑了半圈(如圖三),此時在地球上觀測水星與太陽的夾角應該又變回0度。
  1. 由水星與太陽夾角隨日期變化的關係曲線圖(圖四),找出連續兩次夾角0度間隔的時間(即是水星比地球多跑了半圈所需的時間),可看出約58天。
  2. 將上述步驟所得的時間換算成地球繞日公轉58/365(=0.159)圈。則水星繞日公轉0.159+0.5(=0.659)圈。
  3. 已知水星繞日公轉0.659圈為58天,則可推算出公轉一圈約須88天,即水星公轉週期為88天。


圖(四) 水星與太陽夾角隨日期變化的關係曲線圖

 

五、驗證刻卜勒第三運動定律

  將所求得水星公轉半徑(R水)與週期(T水),與地球資料比較,驗證是否符合刻卜勒第三運動定律。驗證公式如下:

-------------------- (3)

  若已知R地=1天文單位;T地=365天;R水=0.39天文單位,由公式可算出水星週期約為88~89天,得証之。

 

六、結語

  我們知道第谷(Tycho Brahe,西元1546~1601)是當代最偉大的天文觀測家,而刻卜勒(Johanes Kepler,西元1571~1630)是同時代最偉大的理論家。當初刻卜勒根據第谷所遺留下來的大批資料研究行星的運動,最後發現了刻卜勒行星三大定律。最早的望遠鏡是在第谷死後十年才發明的,許多同學以為沒有好的儀器就無法做研究,事實不然,我們用簡單的儀器,簡易的方法也能得到有用的資訊,希望此活動能給同學一些啟示。

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